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Satz von Kronecker-Capelli



Der Satz von Kronecker-Capelli ist ein Lösbarkriterium für lineare Gleichungssysteme. Er ist nach den Mathematikern Leopold Kronecker (1823–1891) und Alfredo Capelli (1855–1910) benannt.[1][2], wurde aber zuvor in verschiedenen Formulierungen bereits von anderen Mathematikern verwendet, darunter Fontené, Rouché und Frobenius.[3] Dementsprechend trägt der Satz in der (internationalen) Literatur oft unterschiedliche Namen, wird einfach als Lösbarkeitskriterium bezeichnet oder namenlos verwendet.[1]

Inhaltsverzeichnis


Aussage

Zu einem linearen Gleichungssystem

\({\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}\)

bezeichne \({\displaystyle A}\) die seine Koeffizientenmatrix

\({\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}\)

und \({\displaystyle (A|b)}\) die seine erweiterte Koeffizientenmatrix

\({\displaystyle \left({\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right)}\)

Der Satz von Kronecker-Capelli besagt nun, dass dieses Gleichungssystem genau dann (mindestens) eine Lösung besitzt, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix \({\displaystyle A}\) dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix \({\displaystyle (A|b)}\) entspricht, also

\({\displaystyle {\text{rang}}(A)={\text{rang}}(A|b)}\)

gilt.


Literatur

  • Kronecker-Capelli theorem in der Encyclopaedia of Mathematics
  • Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra: Linearisieren und Koordinatisieren. Springer, 2011, ISBN 9783827424136, S. 34-40
  • Georgi E. Shilov, Richard A. Silverman: An Introduction to the Theory of Linear Spaces. Courier (Dover), 2012, ISBN 9780486139432, S. 54-55

Weblinks


Einzelnachweise

  1. a b Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra: Linearisieren und Koordinatisieren. Springer, 2011, ISBN 9783827424136, S. 34–40
  2. Kronecker-Capelli in der Encyclopaedia of Mathematics
  3. Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg, 9. Auflage, 1989, S. 125




Quelle


Stand der Informationen: 18.12.2021 06:44:03 UTC

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